MIT 18.06 線性代數筆記 | Lecture 1: The geometry of linear equations

前言

其實之前為了上林軒田的機器學習，就已經把 Youtube 上這門課程的部分影片看過了，但是當時沒有空做筆記，學習起來囫圇吞棗，到現在也已經忘的差不多了，所以希望能趁暑假空閒的時間複習線性代數，順便練習用 markdown 作筆記。

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n linear equatuins, n linear algebra

給定n個linear equatuin，n個linear algebra，我們可以把它們寫成Ax=b的形式，其中A是一個Matrix、x和b是一個Vector。舉例來說

\[\begin{cases} \ 2x-\ \ y&=0\\ -x+2y-\ z&=-1\\ \ \ \ \ \ -3y+4z&=4 \end{cases}\]

可以寫成

\[\begin{bmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix}\]

row picture

如果將上面的矩陣形式想成是三個平面在三維空間的形式就是row picture，而三個平面相交的點就是$x$、$y$和$z$的值。

column picture

如果換一種矩陣形式的寫法，將上面的矩陣形式寫成

\[x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}\]

我們可以想像成 \(\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}\) 這個向量是 \(\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}\) 、 \(\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}\) 、 \(\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}\) 這三個向量的combination，這就叫做column picture。

用這個方法我們很快就能找出\(x=0\)、\(y=0\)、\(z=1\)。Strang教授想表達的是column picture讓我們比較容易理解線性代數的概念。想像在三維空間中給定三個向量，我們是否可以用這三個向量建構出三維空間中的任何一點，可想而知，只要這三個向量不再同一平面，或者是說三個向量中的任一向量都不能由另外兩個向量構成，我們都能建構出三維空間中的任何一點。如果其中一個向量可由另外兩個向量構成，這種情況叫做singular case，它的matrix將會是non-invertible。