MIT 18.06 線性代數筆記 | Lecture 4: Factorization into A=LU

Inverse of $AB$

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]

Tips:

\[(AB)(B^{-1}A^{-1})=I=(B^{-1}A^{-1})(AB)\]

Inverse of $A^T$

\[(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\]

Tips:

\[AA^{-1}=I\]

Add transpose to both sides:

\[(A^{-1})^TA^T=I\]

$A=LU$ (no row exchange)

假設我們有一個三乘三的矩陣$A$，在沒經過row exchange的情況下做elimination，我們可以寫成 \(EA=E_{32}E_{31}E_{21}A=u\)

將$E$搬到左邊，可以得到 \(A=E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}u=Lu\)

為什麼A=Lu比EA=u好?

假設\(E_{32}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-5&1\end{bmatrix}\)、\(E_{31}=I\)、\(E_{21}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則\(E=E_{32}E_{21}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\10&-5&1\end{bmatrix}\)，而\(L=E_{21}^{-1}E_{32}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&5&1\end{bmatrix}\)，所以如果沒有row exchanges，我們可以直接從$L$中發現multiplier 2和5。