MIT 18.06 線性代數筆記 | Lecture 3: Multiplication and Inverse Matrices

趁國慶假期繼續寫第三篇。

Matrix Multiplication

矩陣的乘法有四種，以$AB=C$這個例子來說，第一種方法是將A的第i個row乘以B的第j個column得到$C_{ij}$，如下圖所示。 第二種方法是將C的某個column視為A所有column的結合，如下圖所示。 第三種方法是將C的某個row視為A所有row的結合，如下圖所示。 第四種是將A的column和B的row分開相乘後再加總，如下圖所示。

Inverse of A

如果A有inverse，則 \(A^{-1}A=I=AA^{-1}\) A有inverse的條件是A的determinant不為0，或是A為nonsingular matrix。

為什麼singular matrix沒有inverse?

假設一個singular matrix \(A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}\)，我們可以找到一個不為0的$x$使\(Ax=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)，若A有inverse，式子兩邊乘上$A^{-1}$後得到\(x=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)，不符合假設，因此singular matrix 不存在inverse。

Gauss-Jordan

如下圖所示，為了得到$A^{-1}$，我們先做row operation使左邊的A變成identity matrix，則右邊的identity matrix會變成$A^{-1}$。

$EA=I$ tells us $E=A^{-1}$。